पहाड़े कैसे याद करें: बच्चों को पहाड़े सिखाने का सही क्रम
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संक्षिप्त उत्तर
पहले मतलब सिखाएं: बराबर समूह, ऐरे और गिनती की छलांग। फिर पहाड़े आसान से कठिन क्रम में सिखाएं: 2, 10, 5, 1 और 0 के, फिर वर्ग संख्याएं, 3, 4 और 9 के, और आखिर में बची तीन तालिकाएं। यह क्रम हमारा व्यावहारिक सुझाव है, कोई आधिकारिक क्रम नहीं। अमेरिकी Common Core चाहता है कि बच्चे 3rd grade के अंत तक दो एक-अंकीय संख्याओं के सारे गुणनफल याद रखें।
मुख्य बातें
- पहले मतलब सिखाएं: बराबर समूह, ऐरे और गिनती की छलांग। मतलब बच्चे को भूले हुए पहाड़े को दोबारा निकालने का रास्ता देता है।
- 1 से 10 के गुणकों वाले 100 तथ्यों में सिर्फ 55 अलग हैं, क्योंकि 3 × 4 और 4 × 3 एक ही तथ्य हैं।
- जब 1, 2, 5 और 10 के पहाड़े याद हो जाएं, तो सिर्फ 21 अलग तथ्य बचते हैं। हमारे क्रम में आखिर में 6 × 7, 6 × 8 और 7 × 8 आते हैं।
- Common Core 3rd grade के अंत तक सारे एक अंक वाले गुणनफल याद रखने की अपेक्षा रखता है (3.OA.C.7)।
- संघर्ष कर रहे छात्रों के लिए IES की गाइड हर सत्र में तथ्यों के अभ्यास को लगभग 10 मिनट देने की सलाह देती है। टाइमर वाली गतिविधियां 1 से 5 मिनट की हों और कभी नई अवधारणा न सिखाएं।
इस पन्ने पर
- गुणा का मतलब कैसे सिखाएं?
- कितने पहाड़े याद करने होते हैं?
- पहाड़े किस क्रम में सिखाने चाहिए?
- कठिन तथ्यों के लिए कौन सी ट्रिक मदद करती हैं?
- पहाड़ों का अभ्यास रोज कितनी देर होना चाहिए?
- क्या टाइमर वाली परीक्षाएं अच्छा विचार हैं?
- बच्चों को कौन सी कक्षा तक पहाड़े आने चाहिए?
- जब पहाड़े याद हो जाएं तो क्या करें?
- आगे क्या करें
शायद आप इसलिए यहां हैं कि आपका बच्चा “2, 4, 6, 8” तो बोल देता है, पर 7 × 8 पर अटक जाता है। या स्कूल ने पहाड़ों की शीट घर भेजी है और आपको समझ नहीं आ रहा कि शुरू कहां से करें।
संक्षिप्त उत्तर: पहले सिखाएं कि गुणा का मतलब क्या है, फिर पहाड़े आसान से कठिन क्रम में सिखाएं, और रोज का अभ्यास छोटा रखें। नीचे का क्रम हमारा अपना व्यावहारिक सुझाव है। हमने पहाड़ों के लिए किसी आधिकारिक क्रम की खोज की और कोई नहीं मिला, इसलिए इसे एक अच्छी चलने वाली योजना समझें, नियम नहीं।
जिन मानकों और गाइडों का हम नाम लेते हैं वे अमेरिका के हैं: Common Core, जिसे कई अमेरिकी राज्य इस्तेमाल करते हैं, और अमेरिकी शिक्षा संस्थान IES की गाइड। वे भारत के CBSE, NCERT या किसी बोर्ड का नियम नहीं हैं। 3rd grade मोटे तौर पर कक्षा 3 के बराबर समझी जा सकती है (उम्र 8 से 9 साल)।
इस गाइड में मतलब सिखाने के कदम हैं, नौ चरणों का क्रम जिसमें हर चरण में नए तथ्यों की संख्या दी है, कठिन तथ्यों की ट्रिक और अभ्यास की एक दिनचर्या।
गुणा का मतलब कैसे सिखाएं?
गुणा का मतलब है “इतने समूह, हर एक में इतने”। तथ्यों पर जाने से पहले बच्चा 3 × 4 को तीन तरह से दिखा सके और हर तरह के बारे में वही बात कह सके।
- बराबर समूह: तीन थालियां जिनमें चार-चार बिस्कुट हैं। यह 4 + 4 + 4 = 12 है।
- ऐरे (पंक्तियां और कॉलम): आयत में तीन पंक्तियां और हर में चार बिंदु। बिंदु गिनें: 12।
- गिनती की छलांग: 4-4 करके तीन बार गिनें: 4, 8, 12।
पहले असली चीजें लें। बटन, सिक्के और अंडे का कार्टन अच्छे ऐरे बनाते हैं। फिर उन्हें बनाकर दिखाएं। फिर 3 × 4 = 12 लिखें।
यहीं पलटने वाला नियम भी दिखाएं। ऐरे को बगल से घुमा दें तो चार पंक्तियां हैं और हर में तीन। कुल अब भी 12 है, इसलिए 3 × 4 और 4 × 3 एक ही तथ्य हैं। यह एक विचार काम लगभग आधा कर देता है, जैसा अगला हिस्सा दिखाता है।
2nd grade इसी दिशा में इशारा करता है। Common Core का 2nd grade का मानक 2.OA.C.4 बच्चों से 5 पंक्तियों और 5 कॉलम तक के ऐरे का कुल जोड़ से निकलवाता है। अगर आपका बच्चा यह कर सकता है और 5 व 10 की छलांग में गिन सकता है, तो वह तथ्यों के लिए तैयार है।
कितने पहाड़े याद करने होते हैं?
अगर आप 1 से 10 तक की संख्याओं को आपस में गुणा करें, तो 100 तथ्य बनते हैं। पर क्योंकि 3 × 4 बराबर है 4 × 3 के, इनमें से सिर्फ 55 अलग हैं।
अब आसान वाले हटा दें। जब बच्चे को 1, 2, 5 और 10 के पहाड़े आते हों, तो सिर्फ 21 अलग तथ्य बचते हैं। हर एक 3, 4, 6, 7, 8 और 9 से बना है:
| छोटा गुणक | बचे हुए तथ्य |
|---|---|
| 3 | 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12, 3 × 6 = 18, 3 × 7 = 21, 3 × 8 = 24, 3 × 9 = 27 |
| 4 | 4 × 4 = 16, 4 × 6 = 24, 4 × 7 = 28, 4 × 8 = 32, 4 × 9 = 36 |
| 6 | 6 × 6 = 36, 6 × 7 = 42, 6 × 8 = 48, 6 × 9 = 54 |
| 7 | 7 × 7 = 49, 7 × 8 = 56, 7 × 9 = 63 |
| 8 | 8 × 8 = 64, 8 × 9 = 72 |
| 9 | 9 × 9 = 81 |
यह 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 तथ्य हैं। यह एक छोटा, सीमित काम है और इसे बच्चे के सामने बोलकर कहना फायदेमंद है। “इक्कीस तथ्य” पूरी गुणा तालिका से बहुत छोटा लगता है। पूरी तालिका एक नजर में देखने के लिए पहाड़े 1 से 12 तक का पेज और खाली या भरा चार्ट बनाने के लिए गुणा चार्ट बनाएं टूल है।
पहाड़े किस क्रम में सिखाने चाहिए?
हम यह क्रम सुझाते हैं: 2 के, 10 के, 5 के, 1 और 0 के, फिर वर्ग संख्याएं, फिर 3, 4 और 9 के, फिर बचे तीन तथ्य। विचार यह है कि पहले वे तथ्य लें जो बच्चे गिनती से आधे जानते हैं, और जिन तथ्यों में कोई पैटर्न नहीं है उन्हें आखिर में छोड़ें।
| चरण | क्या सिखाएं | नए अलग तथ्य | अब तक के अलग तथ्य (55 में से) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 के (दुगुना) | 10 | 10 |
| 2 | 10 के | 9 | 19 |
| 3 | 5 के | 8 | 27 |
| 4 | 1 के (और 0 के) | 7 | 34 |
| 5 | वर्ग संख्याएं: 3 × 3, 4 × 4, 6 × 6, 7 × 7, 8 × 8, 9 × 9 | 6 | 40 |
| 6 | 3 के | 5 | 45 |
| 7 | 4 के | 4 | 49 |
| 8 | 9 के | 3 | 52 |
| 9 | 6 × 7, 6 × 8, 7 × 8 | 3 | 55 |
गिनती में पहले चरणों में सीखे जा चुके तथ्य शामिल हैं। उदाहरण के लिए 10 × 2 की गिनती चरण 1 में हो चुकी, इसलिए चरण 2 में सिर्फ नौ नए जुड़ते हैं। 0 के पहाड़े गिनती में नहीं दिखते क्योंकि गिनती 1 से 10 तक के गुणकों से की गई है, पर उनमें कुछ ही मिनट लगते हैं: किसी भी संख्या का 0 से गुणा 0 है, और किसी भी संख्या का 1 से गुणा वही संख्या है।
यह क्रम क्यों?
- 2, 10 और 5 के पहाड़े गिनती के उन पैटर्न से मेल खाते हैं जो बच्चे पहले से जानते हैं: दो-दो, दस-दस और पांच-पांच करके।
- 1 और 0 के पहाड़ों का एक नियम है, इसलिए रटने को कुछ नहीं।
- वर्ग संख्याएं एक छोटा समूह हैं जिसकी आसान तस्वीर है: वर्गाकार ऐरे।
- 3, 4 और 9 के पहाड़ों में से हर एक की एक ट्रिक है जो पहले के चरणों पर बनती है (नीचे देखें)।
- 6 × 7, 6 × 8 और 7 × 8 आखिर में आते हैं क्योंकि उनमें सबसे कम पैटर्न है। तब तक सिर्फ तीन बचे होते हैं।
अगले चरण पर तब जाएं जब आपका बच्चा मौजूदा तथ्यों का जवाब उंगलियों पर गिने बिना जल्दी दे दे। मोटे तौर पर हर चरण को एक या दो हफ्ते दें। अगले चरण से पहले पूर्णता की प्रतीक्षा न करें, और पुराने तथ्य साथ मिलाते रहें।
कठिन तथ्यों के लिए कौन सी ट्रिक मदद करती हैं?
ट्रिक बच्चे को वह तथ्य निकालने देती हैं जो अभी याद नहीं हुआ, और बार-बार इस्तेमाल से याद हुए तथ्य बनते जाते हैं। 2009 की IES की संघर्ष कर रहे छात्रों वाली गाइड कहती है कि कक्षा 2 से 8 तक के बच्चों को संख्याओं के गुणों (पलटना, समूह बनाना और तोड़ना) का इस्तेमाल सिखाएं ताकि वे याद न किए तथ्य निकाल सकें। वह यह भी बताती है कि सिर्फ रटाने की तुलना में रणनीति-आधारित शिक्षण के बेहतर रहने के प्रमाण हैं। नीचे के उदाहरण हमारे अपने हैं।
| तथ्य | ट्रिक | हल किया उदाहरण |
|---|---|---|
| 3 के | 2 वाला तथ्य निकालें, फिर एक समूह और जोड़ें | 3 × 7: 2 × 7 = 14, और 14 + 7 = 21 |
| 4 के | 2 वाले तथ्य को दुगुना करें, फिर फिर से दुगुना | 4 × 7: 2 × 7 = 14, और 14 + 14 = 28 |
| 9 के | 10 समूह लें, फिर एक समूह घटा दें | 9 × 7: 10 × 7 = 70, और 70 - 7 = 63 |
| 6 के | 5 वाला तथ्य निकालें, फिर एक समूह और जोड़ें | 6 × 8: 5 × 8 = 40, और 40 + 8 = 48 |
| 7 × 8 | 8 को 5 और 3 में तोड़ें | 7 × 5 = 35, 7 × 3 = 21, और 35 + 21 = 56 |
| वर्ग संख्याएं | एक गुणक को तोड़ें | 8 × 8: 8 × 5 = 40, 8 × 3 = 24, और 40 + 24 = 64 |
हर ट्रिक को कागज पर बने एक ऐरे से एक बार दिखाएं, ताकि बच्चा देख सके कि वह क्यों काम करती है। 9 × 7 के लिए 7 वाली दस पंक्तियां बनाएं, फिर एक पंक्ति काट दें। तस्वीर खुद समझा देती है।
वही गाइड तथ्यों को परिवारों में दिखाने का सुझाव देती है, जैसे 7 × 8 = 56, 8 × 7 = 56, 56 ÷ 7 = 8 और 56 ÷ 8 = 7। जो बच्चा ये चारों वाक्य साथ देखता है, वह सीखता है कि गुणा और भाग एक ही विचार हैं।
अगर आप मतलब वाले कदमों और ट्रिक के काम के लिए तैयार पन्ने चाहें, तो Multiplication Worksheets Bundle में Meaning of Multiplication हिस्सा (24 पेज) और Strategies and Properties हिस्सा (25 पेज) हैं। ट्रिक वाला हिस्सा तोड़ना, जाने हुए तथ्य का इस्तेमाल, दुगुना करना और वर्ग संख्याएं कवर करता है। ये प्रिंटेबल अंग्रेजी में हैं।
पहाड़ों का अभ्यास रोज कितनी देर होना चाहिए?
समय की जो एकमात्र संख्या हम किसी स्रोत से समर्थित कर सकते हैं वह यह है: 2009 की IES गाइड कहती है कि हर सत्र का लगभग 10 मिनट बुनियादी तथ्यों को जल्दी याद करने में लगाएं, और समय कम हो तो कम से कम 5 मिनट। यह सलाह उन छात्रों के अतिरिक्त मदद वाले सत्रों के लिए लिखी गई है जिन्हें दिक्कत हो रही है। यह हर बच्चे का नियम नहीं है, और गाइड इस प्रमाण को मध्यम दर्जे का मानती है।
जिस बच्चे को दिक्कत नहीं, उसके लिए रोज का छोटा सत्र हमारा सुझाव है, और पांच से दस मिनट काफी हैं। रोज होने वाला छोटा सत्र रविवार को होने वाले लंबे सत्र से बेहतर है।
यहां एक आसान सत्र का ढांचा है, जो गाइड की सलाह पर आधारित है कि एक या दो नए तथ्य हाल में सीखे और पुराने तथ्यों के साथ मिलाएं:
- पिछले किसी चरण के कुछ तथ्यों से शुरुआत करें, जैसे 2 के।
- एक या दो नए तथ्यों का ट्रिक और ऐरे के साथ अभ्यास करें।
- उन्हें पिछले हफ्ते सीखे लगभग पांच तथ्यों के साथ मिलाएं।
- कुछ आसान तथ्यों पर खत्म करें, ताकि आखिर में बच्चे को सफलता का एहसास हो।
आठ कार्डों का एक सेट ऐसा हो सकता है: दो नए तथ्य (3 × 6 और 3 × 7), तीन हाल के (3 × 3, 3 × 4 और 5 × 6) और तीन पुराने (2 × 8, 10 × 7 और 5 × 5)। हर जवाब जोर से बोलें, और जब बच्चा अटके तो ट्रिक का नाम लें। कार्ड खुद बनाने के लिए फ्लैशकार्ड बनाएं और स्क्रीन पर झटपट सवालों के लिए गणित अभ्यास टूल हैं।
सुझाव: जब तक सब ठीक चल रहा हो, तभी रुक जाएं। अगर बच्चा अंदाजा लगा रहा है या परेशान हो रहा है, तो किसी ऐसे चरण पर लौट जाएं जो उसे आता है और वहीं खत्म करें।
एक पूरी अभ्यास लाइब्रेरी के लिए, जो उन्हीं पहाड़ों का पालन करती है, Math Facts Fluency Worksheets में Multiplication Facts 0 to 12 हिस्सा है, जिसमें 0 से 12 तक हर पहाड़े का पेज सेट है। इसके 1,214 पेज जोड़, घटाव और भाग के तथ्य भी कवर करते हैं, इसलिए यह उस बच्चे के लिए ठीक है जिसे चारों में रवानी चाहिए।
क्या टाइमर वाली परीक्षाएं अच्छा विचार हैं?
टाइमर वाला अभ्यास मदद कर सकता है, पर सिर्फ सही मौके पर और छोटी मात्रा में। 2021 की IES गाइड कहती है कि टाइमर वाली गतिविधियां सत्र का एक हिस्सा हों, 1 से 5 मिनट की हों और तब इस्तेमाल हों जब बच्चे किसी अवधारणा पर कई पाठों तक काम कर चुके हों। उनसे कभी अवधारणा नहीं सिखानी चाहिए। पैनल यह भी नहीं सुझाता कि बस टाइमर वाली वर्कशीट बांट दी जाएं या बच्चे को किसी प्रोग्राम के साथ अकेला छोड़ दिया जाए।
व्यवहार में इसका मतलब है:
- पहले चरण सिखाएं। टाइमर वाला काम सिर्फ उन तथ्यों पर करें जिन्हें निकालना बच्चा जानता है।
- शुरू में एक मिनट रखें। पांच मिनट या उससे कम पर रहें।
- बच्चे को अपने पिछले स्कोर से मुकाबला करने दें, किसी भाई-बहन से नहीं।
- पास रहें। छूटे हुए जवाब साथ देखें और हर एक के लिए ट्रिक बताएं।
अगर टाइमर वाली शीट से आपका बच्चा घबराता है, तो कुछ हफ्तों के लिए उसे छोड़ दें और खेल और कार्ड इस्तेमाल करें। गाइड टाइमर वाले काम को एक औजार के रूप में मानती है, मुख्य के रूप में नहीं।
बच्चों को कौन सी कक्षा तक पहाड़े आने चाहिए?
Common Core अपेक्षा रखता है कि बच्चे 3rd grade के अंत तक दो एक-अंकीय संख्याओं के सारे गुणनफल याद रखें। मानक 3.OA.C.7 है, और वह 100 के भीतर रवानी से गुणा और भाग की भी मांग करता है। भारत में कौन सी कक्षा में कौन से पहाड़े पढ़ाए जाते हैं, यह आपके स्कूल और बोर्ड पर निर्भर है।
तथ्य 4th grade में भी चलते हैं, जहां बच्चे चार अंकों तक की संख्या को एक अंक से और दो दो-अंकों वाली संख्याओं को आपस में गुणा करते हैं। जिस बच्चे के तथ्य कमजोर हैं, उसे वह काम धीमा लगेगा।
राज्य अपने मानक तय करते हैं, और कुछ ने Common Core को दोबारा लिखा या बदला है। अगर आप किसी स्कूल में पढ़ाते हैं या किसी योजना का पालन करते हैं, तो अपने लक्ष्यों की सूची देखें। Common Core का पाठ आधिकारिक मानक साइट पर है, और Grade 3 operations पेज एक ऑनलाइन प्रति है जो खुद को अनौपचारिक बताती है।
जब पहाड़े याद हो जाएं तो क्या करें?
उनका इस्तेमाल करें। तथ्य तभी रवानी बनते हैं जब बच्चे उनसे असली सवालों में मिलते हैं। हमारी गाइड गणित के शब्द प्रश्न कक्षा 1 से 4 दिखाती है कि 3rd और 4th grade में गुणा और भाग की कहानियां कैसी दिखती हैं, और हासिल वाला जोड़ कैसे सिखाएं उस पहले के कौशल को कवर करता है जिस पर बहुअंकीय गुणा बनता है।
जिस 3rd grade के बच्चे को पूरा साल एक जगह चाहिए, उसके लिए Third Grade Worksheets Bundle में 69 पेज का Multiplication हिस्सा (2 से 10 के पहाड़े, ट्रिक, टाइमर वाले अभ्यास, गुणनफल से रंग भरना और रहस्य चित्र), भाग का हिस्सा और कुल 14 हिस्से हैं, और पीछे जवाबों की कुंजी है।
अब तक की सीखी बातों की एक छोटी जांच के लिए यह चेकलिस्ट हमारा सुझाव है:
आगे क्या करें
- पहले मतलब जांचें: अपने बच्चे से 3 × 4 को समूह, ऐरे और गिनती की छलांग के रूप में दिखाने को कहें।
- 1, 2, 5 और 10 के पहाड़ों की जांच करें। अगर वे पक्के हैं, तो आप 55 में से 34 तथ्य पार कर चुके हैं।
- क्रम को उस पहले चरण से शुरू करें जो अभी जल्दी नहीं आता, और हर चरण को एक या दो हफ्ते दें।
- रोज पांच से दस मिनट अभ्यास करें, नए, हाल के और पुराने तथ्य मिलाकर, और किसी आसान तथ्य पर खत्म करें।
- जब कोई चरण पक्का हो जाए, तो एक से पांच मिनट का छोटा टाइमर वाला राउंड जोड़ें। किसी भी चरण के प्रिंट करने वाले पन्नों के लिए हमारे गणित वर्कशीट देखें। यह पेज अंग्रेजी में है।
स्रोत
- Common Core State Standards for Mathematics and English Language Arts (official documents), National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers.
- Grade 3 mathematics: Operations and Algebraic Thinking, standard 3.OA.C.7 (online copy of the Common Core standards), thecorestandards.org, an unofficial copy of the standards.
- Grade 2 mathematics: Operations and Algebraic Thinking, standard 2.OA.C.4 (online copy of the Common Core standards), thecorestandards.org, an unofficial copy of the standards.
- Grade 4 mathematics: Number and Operations in Base Ten, standard 4.NBT.B.5 (online copy of the Common Core standards), thecorestandards.org, an unofficial copy of the standards.
- Assisting Students Struggling with Mathematics: Response to Intervention (RtI) for Elementary and Middle Schools (2009), Institute of Education Sciences, What Works Clearinghouse.
- Assisting Students Struggling with Mathematics: Intervention in the Elementary Grades (2021), Institute of Education Sciences, What Works Clearinghouse.
यह गाइड माता-पिता और शिक्षकों के लिए सामान्य जानकारी है। यह पेशेवर सलाह नहीं है।
